Использование распределения Пуассона для расчета расхода воды в системах внутреннего водопровода

О. Д. Самарин, доцент, канд. техн. наук, НИУ МГСУ

Если обозначить число одновременно включенных водоразборных приборов величиной m, а вероятность их действия, которая определяется общим числом приборов, максимальным секундным расходом через прибор и максимальным часовым водопотреблением как Р, тогда m должно определяться через произведение NP, являющееся математическим ожиданием для m. Параметр N равен суммарному числу водоразборных приборов, обслуживаемых рассматриваемым участком водопроводной сети. Именно такой подход декларируется в действовавшем ранее СНиП 2.04.01-85 «Внутренний водопровод и канализация» зданий, где по величине NP вычисляется поправочный коэффициент α к секундному или часовому расходу диктующего водоразборного прибора. Этот коэффициент имеет физический смысл значения m, деленного на 5, при расчетной необеспеченности подачи воды, равной 0,00135.

В то же время актуализированная редакция СНиП 2.04.01 – СП 30.13330.2012 содержит сведения только по среднесуточным и часовым расходам, а конкретные предложения по вычислению расчетных расходов в ней отсутствуют. Однако в соответствии с федеральными законами «О техническом регулировании» и «Технический регламент "О безопасности зданий и сооружений"» это означает, что такие расходы могут определяться по любой опубликованной и обоснованной методике, в том числе и по СНиП 2.04.01, поэтому анализ и уточнение соответствующих рекомендаций сохраняет смысл. Похожие соображения высказывались еще на этапе разработки СП 30.13330.2012 в публикации [1]. В последнее время появляются и другие публикации, посвященные рассматриваемому вопросу, например [2, 3], однако они построены на несколько иных принципах, касающихся в бoльшей степени конструктивных и юридических аспектов, поэтому дальнейшее развитие вероятностно-статистического подхода также представляется целесообразным. Следует сказать, что корректное определение расчетных расходов воды имеет существенное значение в первую очередь с точки зрения оценки затрат водных и энергетических ресурсов, особенно в системах горячего водоснабжения, что отмечается не только в отечественных, но и в зарубежных источниках и нормативных документах [4–6].

Заметим, что случайные события, связанные с включением и выключением водоразборных приборов, являются, вообще говоря, дискретными, и такой же, соответственно, оказывается и случайная величина m. Поэтому для расчета ее распределения необходимо применять биномиальную схему. Однако в большинстве случаев для внутренних сетей холодного и горячего водоснабжения жилых зданий имеет место неравенство P < 0,1. Поэтому для оценки значений m и α можно попытаться воспользоваться пуассоновским распределением для m. Тогда вероятность P_о одновременного включения m приборов, как известно, описывается выражением [7]:

 (1)

где символ m! означает факториал числа m, т. е. произведение всех натуральных множителей от 1 до m.

Он может быть выражен через гамма-функцию от величины m + 1:

m! = Г(m + 1)

Вообще говоря, необходимо заметить, что обычно пуассоновское распределение считается хорошим приближением действительного биномиального только при сравнительно малой величине математического ожидания, примерно для NP < 10 [7]. Однако в данном случае расчеты показывают, что достаточно близкое совпадение получается и для значительно бoльших значений этого параметра, охватывающих всю интересующую нас область.

Если теперь заменить гамма-функцию асимптотическим разложением Стирлинга, от (1) можно перейти к распределению непрерывной случайной величины – расчетного расхода воды, после чего значение P₀, соответствующее текущему значению расхода, определяется численным интегрированием. Заметим, однако, что, поскольку обеспеченность водоснабжения фактически задана, на самом деле нас интересует главным образом обратная задача, а именно поиск m, отвечающего требуемому уровню P₀.

На рис. 1 приведены результаты расчетов для поправочного коэффициента А, вводимого к базовому соотношению для α, получающемуся при нормальном распределении, справедливом в случае больших NP [7–9]:

α =0,2(NP + 3√NP). (2)

Изменение величины А в случае пуассоновской схемы достаточно удовлетворительно описывается следующим выражением (рис. 2):

A = 0,976 + 0,24/√NP. (3)

Для сравнения аппроксимация данных табл. 2 приложения 4 СНиП 2.04.01 дает для А выражение в виде: 0,976 + 0,24/√NP[8, 9], погрешность которого не превышает ±2 % (см. рис. 1). Отсюда следует, что числовые коэффициенты отличаются от имеющихся в (3) очень мало. При этом сама получаемая зависимость имеет тот же самый вид, хотя, судя по рис. 2, при использовании распределения Пуассона отклонение точек от аппроксимирующей прямой несколько больше – до 5 %. Тем не менее такая величина тоже заведомо лежит в пределах погрешности инженерного расчета, поэтому подобную ошибку можно считать несущественной.

Полученный результат свидетельствует о том, что пуассоновское приближение достаточно адекватно отражает основные особенности колебаний действительного водопотребления в системах внутреннего водопровода при малой вероятности действия отдельных водоразборных приборов. При этом как качественное, так и количественное совпадение с данными СНиП 2.04.01 оказывается не хуже, чем при использовании нормального распределения, несмотря на то что в рассматриваемой области изменения параметров значение произведения NP может быть значительно выше, чем обычно рекомендуется для условий применимости распределения Пуассона. По-видимому, это можно объяснить тем, что критерий P < 0,1, который в рассматриваемой задаче безусловно выполняется, играет более существенную роль, чем величина NP. Одновременно получаем дополнительное подтверждение теоретической обоснованности рекомендаций по определению расчетных расходов воды, приведенных в приложении 4 СНиП 2.04.01 и возможность использования аппроксимационной формулы для А, предложенной в [8, 9].

Литература

1. Исаев В. Н., Мхитарян М. Г., Пупков М. В. Актуализация сводов норм и правил, регулирующих водоснабжение и водоотведение // Сантехника. 2009. № 4. С. 44–46.
2. Стрелков А. К., Зотов Ю. Н., Михайлова И. Ю. Об оптимизации внутренних систем водоснабжения при проектировании // Научное обозрение. 2014. № 4. С. 98–101.
3. Стрелков А. К., Зотов Ю. Н., Зотова И. Ю. Методическое обеспечение гидравлического расчета внутренних систем водоснабжения в многоквартирных домах // Водоснабжение и санитарная техника. 2013. № 8. C. 15–21.
4. Gabrielaitiene I. Numerical simulation of a district heating system with emphases on transient temperature behavior. Pap. of the 8th International Conference «Environmental Engineering», May 19-20, 2011. Vilnius: Lithuania, 2011. V. 2. P. 747–754.
5. Kapalo P. Energy efficiency buildings. Energy for hot water // Technical University of Kosice. 2008. P. 223–225.
6. EN 15316 3 2 Heating systems in buildings – Method for calculation of system energy requirements and system efficiencies // Part 3–2: Domestic hot water systems, distribution.
7. Мацкевич И. П., Свирид Г. П. Высшая математика: Теория вероятностей и математическая статистика. – Минск: Вышэйшая школа, 1993.
8. Самарин О. Д. Определение расчетных расходов воды и коэффициентов часовой неравномерности ее потребления в системах холодного и горячего водоснабжения // Вестник МГСУ. Спецвыпуск 2009. № 2. С. 526–534.
9. Самарин О. Д. Вычисление расчетных расходов воды в системах холодного и горячего водоснабжения // Сантехника. 2009. № 1. С. 10–12.